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凯利公式,凯利判据

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在概率论与跨期投资组合选择中,凯利标准,凯莉的策略,凯利公式,或是打赌,是一种用来确定一系列的投注的最佳尺寸公式。在大多数赌博的场景,和一些投资的情况在一些简化的假设,Kelly策略会做得比在长期运行任何本质上的不同的策略(即,经过一段时间后,观察到部分押注成功等于任何赌注会成功的概率)。它是由J. L.凯利,JR说,1956在贝尔实验室,研究员。该公式的实际应用已被证明。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/20849995

Ned Kelly, Sidney Nolan(Australia), 1946, Surrealism, Enamel on composition board, 98 x 122 cm, National Gallery of Australia, Canberra

凯莉准则是押注一个预先确定的资产分数,可以反直觉。在一项研究中,每个参与者都得到了25美元,并要求赌一枚硬币,将土地头60%的时间。奖品上限为250美元。”值得注意的是,28%的参与者破产,平均支付仅为91美元。只有21%的参与者达到最大。18对61名参与者的一切都赌一把,而三分之二赌的尾巴在实验。这两种方法都不是最优的,“使用凯利标准,根据实验中的赔率,正确的方法是在每次投掷中下注20%(见下面的第一个例子)。如果输了,赌注的大小就会被削减;如果赢了,赌注就会增加。

仓位管理大杀器:凯利公式你用对了吗?

凯利党,西德尼·诺兰(澳大利亚),1946年,超现实主义,用珐琅在复合板上作画,98×122厘米,澳大利亚国立美术馆,堪培拉

虽然做得比任何其他的长期策略似乎令人信服的Kelly策略的承诺,一些经济学家主张极力反对,主要是因为个人的具体投资约束可能覆盖最优增长率的愿望。常规替代期望效用理论所说的赌注的大小应最大限度结果的期望效用(一个人对数效用,凯利赌注最大期望效用,所以没有冲突;此外,凯莉的原始文件,明确规定在赌博游戏是在有限的时间,案例实用功能的需要)。即使是凯莉的支持者通常也会主张分数凯利(投注凯莉推荐的固定分数)

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西德尼·诺兰(1917-1992)是最广为人知和认可的澳大利亚艺术家。他自学成才成为画家,同时也是布景设计师、插画家和诗人。在1942年,他应招参加澳大利亚军队,并部署在维多利亚州西北部。那里有着广大的空间和灌木明亮的色调,因此善生了一系列大胆的风景画作,这些作品也成为澳大利亚风景绘画的先驱,开拓了全新的方向。

近年来,凯莉已成为主流投资理论的一部分,并声称已经取得了著名的成功投资者,包括华伦巴菲特和比尔格罗斯使用凯利方法。william poundstone写了一个广泛的帐户历史的凯利投注。

陈小米
· 9 个月前

诺兰的《凯利党》绘画是他最知名的系列。在他整个艺术生涯中,他反复绘制这个主题。这些看起来很天真幼稚的图像,收到了达达流派和超现实主义的影响,本意是想震动观者。凯利是19世纪爱尔兰和澳大利亚裔的亡命之徒和民间英雄,诺兰常常将他放在标志性的广场中,一身黑衣,穿着自制的盔甲。这幅作品中,黑色的几何剪影凸显于蓝色的阴郁天空和似乎烧焦了的黄色灌木从地之上,暗示对这位反英雄人物的移情作用,还有人类与大地之间的疏离关系。

Statement

今天我们介绍一个神奇的人,和他神奇的公式。目前网络上传播较广的一篇讲凯利公式前世今生的文章,个人认为深度不够,而且思路是有问题的。大家不要看多了走偏路。最近也花了一些力气做梳理,把这篇分享出来,尽量做到讲对,讲透,也是提醒各位,低头挖矿,不要搞错了挖矿的初衷。
一、故事背景

在1930年代,澳大利亚艺术家的灵感来源开始以欧洲的现代主义为圭臬,特别是德国的表现主义和超现实主义。诺兰就是当时墨尔本众多此类艺术家的一个,跟随这些新方向。不过到最后,他从未真正归属某个单一的流派,而是自己不断探索不同的气氛和技法,并以之描绘自己的主题:不公、爱、背叛,还有一直在那里的澳洲风景。 更多艺术堂奥,前往 ArtsHowTo

对于简单的投注有两个结果,一个涉及失去整个金额投注,另一个涉及赢得投注金额乘以支付赔率,凯利赌注是:

市场不好的时候,我们总是会犹豫,满仓?半仓?还是空仓?有没有一个科学的办法给出一个标准答案呢?下面来看看仓位管理神器——凯利公式
投资(ji)就是一场赌博。像索普、香农等很多投资大师早期都对研究赌博业的秘密情有独钟,科学家们总是希望从理论上找到赌博游戏的必胜策略,使得一场游戏中赢的概率远远高过输的概率。
凯利就是这样一个大师。他是香农(信息论创始人)在贝尔实验室的同事,这个来自德克萨斯州、爱摆弄手枪、喜欢一根接一根抽烟的狂野硬汉,干过很多恶作剧,特别喜欢将填满塑料的子弹射进他客厅的墙壁里来戏弄家里暂住的客人。他的研究领域从量子物理学到电视信号解码,发明了能够准确模拟人类声音的电脑设备。最广为人知的研究贡献,便是将香农的信息论运用到了赛马赌博中。
凯利用这样一个精巧简洁的公式,将信息论与赌博之间的本质联系揭露出来,告诉我们在有限了解的信息下,如何下注能使得资本增值的速度最大化。
二、赌博怎么用凯利公式?

【说明:以上文字内容,部分译自《30,000 Years of Art》,纯属个人爱好,英文版权仍归原作者所有,转载请标明出处。by 郑柯-Bryan】

f = [ p ( b + 1 ) - 1] / b=bp-q/b

最早的凯利公式是运用在赌博游戏中的,我们先看看赌博情形下凯利公式的特殊形式:

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注意:

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f是当前资金下注的分数,即赌多少;

f:下注比例Pwin:赌赢的概率Ploss:赌输的概率(=1-Pwin)b:赔率,押1赔b(这个赌球的朋友们是不陌生啦)
特殊形式凯利公式的证明过程(此处感谢@程峰的建议)
我们可以做一个简单的证明。资金曲线asset对f求导,就可以得到特殊形式下的凯利公式。
In[0]:
from sympy import f,b,pwin = symbols('f b pwin')#资金曲线assetasset = pwinlog(1 + bf) + (1 - pwin)log(1-f)#资金曲线增长最大,即asset对f求导=0时f的值solve(diff(asset,f),f)

b是赌注上收到的净赔率("b to 1"),也就是说,你可以赢b美元(赌上找回你1美元的赌注)1美元的赌注;

Out[0]:
[(b*pwin + pwin - 1)/b]

p是获胜的概率;

举个简单的例子
假想一个游戏。赢的概率是60%,输的概率40%。入场费随意交。如果赢了获得2倍的入场费金额(1赔1),输则输掉入场费。小米有100元做本金,请问小米每次给多少入场费,理论上4次游戏后几何期望收益能最大?
然后我拿凯利公式算了一下,最佳的策略是每次投剩余本金的20%。
f = (1×0.6-0.4)/1 = 0.2。
基于上述的例子,做个简单的蒙特卡洛模拟实验(进行200次游戏):
In[1]:
from pandas import DataFramebase = 100pwin = 0.6ploss = 1-pwinb = 1c = 1rnd_position = 0.25rnd_position2 = 0.15kelly_position = (pwinb - ploss)/bstopline = 1print 'kelly position is %s'%kelly_positionport_A = DataFrame()port_B = DataFrame()port_C = DataFrame()port_D = DataFrame()#重复模拟次数for i in range(1000): port1 = [base] port2 = [base] port3 = [base] port4 = [base] #游戏进行次数 for step in range(200): rnd = random.random() if rnd < pwin: next_step = b else: next_step = -c if port1[-1] > base(1-stopline): port1.append(port1[-1](1+next_step)) else: port1.append(port1[-1]) if port2[-1] > base(1-stopline): port2.append(port2[-1](1+next_stepkelly_position)) else: port2.append(port2[-1]) if port3[-1] > base(1-stopline): port3.append(port3[-1](1+next_steprnd_position)) else: port3.append(port3[-1]) if port4[-1] > base(1-stopline): port4.append(port4[-1](1+next_steprnd_position2)) else: port4.append(port4[-1]) port_A[i] = port1 port_B[i] = port2 port_C[i] = port3 port_D[i] = port4plt.figure(figsize = (8,5))plt.plot(exp(log(port_A.T).sum()/1000),label = 'port1:full')plt.plot(exp(log(port_B.T).sum()/1000),'*',label = 'port2:kelly')plt.plot(exp(log(port_C.T).sum()/1000),label = 'port3:0.25')plt.plot(exp(log(port_D.T).sum()/1000),label = 'port4:0.15')plt.legend(loc = 0)print 'n不同组合的几何期望收益'print 'full position %s'%exp(log(port_A.T).sum()/1000).iloc[-1]print 'kelly position %s'%exp(log(port_B.T).sum()/1000).iloc[-1]print 'position = 0.25 %s'%exp(log(port_C.T).sum()/1000).iloc[-1]print 'position = 0.15 %s'%exp(log(port_D.T).sum()/1000).iloc[-1]

q是失败的概率,这是1−P;

Out[1]:

作为一个例子,如果一场赌博有60%的胜率(p= 0.60,q = 0.40),和一个赌徒接收的赔率赌赢(b= 1),那么赌徒应该打赌他20%的资金在每一个机会(f = 0.20),以最大限度的发挥资金的长期增长率。

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如果赌徒有零边,即如果b = q / p,那么标准建议赌徒投注没有

观察四种操作方式:满仓下注、按凯利公式下注20%、按25%下注、按15%下注
图为进行200次游戏之后几何期望资金曲线的情况
凯利无疑是增长最快的!
从另一个角度,我们来理解一下

如果边缘是负的(b= q / p)公式给出了一个负的结果,表明赌徒应该采取另一边的赌注。

不同赔率下,赢的概率多大我们会选择入场参与游戏?
还是上面的游戏,如果赢的概率40%,输的概率60%,那么,期望净收益就是(1×0.4-0.6)< 0;从概率的角度说,一个期望净收益为负的游戏是不值得参与的,求得的f小于0,也就是不下注。
下面看一下不同赔率下一个游戏赌赢的概率为多少才值得参加?
同样,用实验来观察:
In[2]:
import numpy as npfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Db = np.linspace(20,1,20)pwin = np.linspace(0,1,20)b,pwin = np.meshgrid(b,pwin)kelly = (bpwin-(1-pwin))/b(b*pwin-(1-pwin)>=0)zero = 0fig = plt.figure(figsize = (10,6))ax = fig.gca(projection = '3d')surf = ax.plot_surface(b,pwin,kelly,rstride=1, cstride=1,cmap = plt.cm.coolwarm)ax.plot_surface((1-pwin)/pwin,pwin,0)ax.set_xlabel('b 赔率')ax.set_ylabel('pwin 赢概率')ax.set_zlabel('kelly 下注比例')fig.colorbar(surf,shrink = 0.6,aspect = 10)

例如,在标准的美式轮盘赌,投注者提供了一种甚至金钱回报(b = 1)红,当有18个红色的数字和20个非红色的数字在轮(p = 18 / 38)。凯莉的赌注是1 / 19,意义的赌徒应他的钱红不起来的十九分之一。不幸的是,赌场不允许投注的东西来了,所以一个凯利赌徒不能下注。

Out[2]:

在第一部分的顶部是预计净奖金从1美元的赌注,因为这两个结果是,你要么赢得$ b的概率为p,或失去1美元的赌注,即赢得$ 1,以概率q因此:

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